Об эксперте: Алексей Савватеев — российский математик, популяризатор математики, доктор физико-математических наук, профессор МФТИ, профессор Адыгейского государственного университета, член-корреспондент РАН.
Математику нужно знать каждому?
Эта наука лежит в основе нашего мира, поэтому, я думаю, что положение любого человека в нем прямо пропорционально его пониманию математики.
Мое мнение: математика не нужна разве что поэтам, художникам, исполнителям песен — тем, кто имеет дело с вдохновением. Всем остальным людям, особенно если их жизнь связана с чем-то материальным, с окружающим миром и его законами, математические знания точно пригодятся. Дизайнер Артемий Лебедев считал, что математика ему не нужна совсем, но, когда мы с ним побеседовали, я его частично убедил в том, что даже в дизайнерском деле она может быть полезна.
Хороший вопрос: нужна ли математика в спорте? Я бы сказал, да. Например, марафонцам в беге на сверхдлинные дистанции или лыжникам важно понимать, укладываются ли они в график. Компьютера и калькулятора, понятно, под рукой нет, но в голове есть простая формула, которая поможет высчитать, укладывается ли спортсмен в отведенное время. Много математики в спортивном ориентировании — чего только стоит вычисление правильного градуса угла. Да и в футболе без базовых знаний математики не обойтись: важно ведь не просто послать мяч, а сделать это с умом, по правильной траектории.
Нужна ли сегодня фундаментальная математика?
Казалось бы, зачем в наш век современных технологий знать основы, которые закладывали Ферма, Ньютон, Лейбниц, Гаусс, Эйлер, нужно ли сегодня изучать их наследие? Ответ: конечно, нужно. Все современные алгоритмы имеют внутреннюю логику, не понимая которую вы не сможете ими пользоваться. Важно вникать в фундаментальную математику как в основу бытия. А из основы уже можно вытянуть любую ниточку.
Чем математика отличается от других наук?
Математика — очень сложная для постижения наука. Наверное, с ней может сравниться только физика, и то она все же уступает. Погружение в какую-либо науку я бы сравнил с такой ситуацией: ты поднимаешься по лестнице, открываешь дверь и выходишь на этаж с множеством других дверей. Это стандартный путь изучения любой дисциплины: ты устал, пока поднимался, но на финише ты собой доволен. Даже можешь открыть много смежных дверей в другие науки и все поймешь.
Изучение математики — это когда ты долго поднимаешься по лестнице, хочешь выйти на этаж и понимаешь, что вместо открытого пространства там стены, а на них еще более крутые лестницы, по которым нужно карабкаться. Ты лезешь дальше, с огромным трудом достигаешь следующего этажа и думаешь, что здесь-то ты уже можешь говорить на одном языке с великими учеными — с Пуанкаре, Перельманом, но вокруг опять только стены и лестница. И так этаж за этажом. У тебя нет никакого раздолья, нет награды за твои труды. Что ты получаешь за свое стремление вверх? Пропуск к еще большим трудам. Вот так устроена математика. За это мы ее обожаем. Потому что она никогда не дает расслабляться.
Из каких уровней состоит математика?
Первый этаж математики — это абстракция числа как такового. Это идея о том, что существуют отдельно взятые предметы, и мы можем посчитать, сколько их. Такова первая ступень математики, которую, конечно, проходят все. Хотя, если верить Аурэлю Фоссу — автору книги «Сущность математики», на земле до сих пор остались некие сумеречные народы, которые для счета птиц и чумов, к примеру, используют разные числительные. Они не понимают, как можно считать разные предметы, используя одну систему. Значит, эти народности еще не вышли на первый «этаж математики». А все цивилизованные народы давно на нем стоят.
Второй этаж математики обусловлен появлением неизвестных — x, y, z и других. Появляются такие задачи, для решения которых нужно обозначить хоть что-то за x и дальше «выкрутиться» через решение уравнения. В более сложных ситуациях возникают системы уравнений с двумя неизвестными, с тремя и так далее — когда вы занимаетесь большой наукой, будет столько неизвестных, сколько вам нужно. На втором этаже вы спокойно ориентируетесь с неизвестными, применяете формулы сокращенного умножения, разность квадратов, бином Ньютона. В принципе, взойти на этот этаж достаточно легко.
Третий этаж — это исследование операций над цифрами и буквами. Плюс, минус, умножить, разделить, возвести в степень; возникает абстрактное понятие группа, кольцо, поле, модуль и так далее. Этими абстрактными понятиями оперирует вся современная математика. Если вы смогли их освоить, то я вас поздравляю, можно идти на мехмат и пытаться хотя бы первые два года на нем учиться.
Так можно продолжать очень долго! Четвертый этаж — это гомологии и когомологии, с которыми я сейчас пытаюсь разобраться. А пятый этаж — это категории. Но в них я ничего не понимаю, и, наверное, еще долго не пойму. Дальше, говорят, возникают этажи, вход на которые открыт только гениальным филдсовским лауреатам.
Филдсовская премия (Fields Medal) — самая престижная международная премия и медаль в области математики. Вручается один раз в четыре года на каждом международном математическом конгрессе 2–4 молодым ученым не старше 40 лет (или достигших 40-летия в год вручения премии).
Приз и медаль названы в честь Джона Филдса, президента VII международного математического конгресса, проходившего в 1924 году в Торонто.
Математики сами надстраивают эти сложнейшие этажи один за другим. Фактически математика — это наука для тех, кто хочет всю жизнь думать и никогда не останавливаться ни на чем.
Зашита ли математика в стандарты красоты?
Я в это не верю. Мне кажется, что гениальная мелодия или картина — штучная вещь, а стандарта красоты вообще не может быть. Нам обычно все-таки нравится что-то непредсказуемое. То, что построено по каким-то формулам, не привлекает. Наоборот, настоящая красота рождается там, где нарушается конструкция.
Любой человек может сказать, что картина идеальна, потому что написана по правилам золотого сечения. Это уловка мозга — мы пытаемся постфактум объяснить то, что нам кажется красивым. На самом деле, истинная красота непредсказуема, немоделируема и нематематична. Так что золотое сечение переоценено. Но мне бы хотелось отметить, что оно играет ключевую роль при построении правильного пятиугольника циркулем и линейкой, а это важнее любых «народно-хозяйственных задач». Это очень круто и суперкрасиво.
Остались ли еще в математике нерешенные задачи?
Вы удивитесь, но они есть даже в школьной математике! Вот пример одной из них. Простое число делится только на себя и на единицу: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Еще Евклид доказал, что это бесконечный ряд чисел, он никогда не кончится. В этом ряду есть такие пары простых чисел, например, 17 и 19, 101 и 103, 71 и 73 — которые стоят «через одно» друг от друга. Если вы заглянете далеко-далеко в натуральный ряд, то вы будете постоянно обнаруживать, что какие-то два числа, оба простые, стоят вот так — через одно друг за другом.
И науке не известно, кончатся ли такие близняшки или их соседство тоже будет бесконечным. Никто не знает, как не знали и при Евклиде. Открытая математическая проблема, казалось бы, доступная школьнику. Таких проблем, на вскидку, штук 30.
Научные модели позволяют делать прогнозы?
Если грамотно ввести начальные данные, физические модели предскажут явление довольно точно. Но предсказательная сила уменьшается, если вмешиваются различные факторы — неожиданные или те, что мы и не собирались учитывать. Дальше, в таких науках как химия, биология, медицина с прогнозами все хуже. А к социуму вообще невозможно применить моделирование, потому что если вы ставите людей в некоторые условия, то они начинают себя вести выгодным образом. Прогностические модели в описании социума работают из рук вон плохо, но все равно не надо отчаиваться. Без них еще хуже.
Реально предсказать кризисное явление нельзя, и в этом, мне кажется, заключается красота нашего мира. Хотя некоторые говорят, как жаль, мы хотим, чтобы мир был полностью предсказуем. Я, например, этого не хочу, мне не интересно жить в предсказуемом мире. Мне интересно жить в мире, который не описывается математикой.
Математика — универсальный язык Вселенной?
Я бы сказал так: в широком смысле математика — это язык, на котором Бог общается с нами, передает свои законы посредством такого языка. В узком смысле, конечно, математика остается универсальным языком технической сферы и даже таких наук, как физика, химия и биология. Но то, что это универсальный язык общественных наук, я бы уже не сказал. Определенные закономерности социума математикой описываются, но их надо уметь правильно к социуму прикладывать. Даже знания законов спроса и предложения или теорий аукционов, транспортного моделирования не помогут решить реальные проблемы общества. Вам все равно придется вдумываться в предметную область, читать гуманитарные тексты, написанные в прошлом, и после этого вы сможете принести пользу со своими моделями.
То есть, когда речь идет не о законах природы, а о законах общества, математика имеет меньшее значение. И совсем нулевое значение она имеет в законах общения конкретных людей, индивидуальностей друг с другом. Если вы попытаетесь математику применить к общению со своим супругом, боюсь, вас ждет развод.
Что произойдет в математической сфере в ближайшие годы?
Математический прогноз на ближайшие 5–10 лет дать невозможно: наши горизонты планирования — это тысячи лет. Поэтому десятилетие тут играет незначительную роль. За это время можно успеть подкрутить какие-то гипотезы, начать что-то проверять. В чистой математике бывают прорывы — скажем, с 1975 по 2005 годы были сняты чуть ли не пять величайших математических загадок, включая Последнюю Теорему Ферма и гипотезу Пуанкаре. А вот в технической сфере ничего существенного не изобретали уже давно. Сейчас, по сути, допиливаются идеи, которые были высказаны в 50–60-е годы.
Мне кажется, технический прогресс приостановился. Сейчас он связан с интернетом, банковскими картами, шифрованием, кодированием — но все это тоже вещи не быстрые, не на ближайшие пять лет.
Что прочитать, чтобы вникнуть в основы математики?
Чтобы поднатореть в математике, нужно прочесть хотя бы какие-то вводные вещи, например, мою «Математику для гуманитариев» — книга есть в свободном доступе в интернете. За ней — «Что такое математика» Куранта и Роббинса. Можно читать Перельмана, но это, скорее, развлекаловка. Потом идет Иэн Стюарт «Величайшие математические задачи» — очень хорошая книга. Кто любит практику — «Кому нужна математика?» Райгородского. Под редакцией моего друга Николая Андреева вышла книга «Математическая составляющая», а недавно еще и новое издание — рекомендую. Уровень выше — математика для первого курса мехмата: «Введение в матанализ» Зорича, «Линейная алгебра и геометрия» Кострикина.
Так что умнейте. А дальше — уже вперед, на все этажи забирайтесь, господа альпинисты!