Как известно, Нобелевскую премию не вручают ни по математике, ни по выросшей из нее информатике. Причин этого никто не знает, но существует легенда, что жена Альфреда Нобеля ушла от него к математику. Конечно, это не более чем анекдот, хотя бы потому, что жены у Нобеля не было.
Есть и другая версия, согласно которой Нобель не признавал ценности математики как двигателя прогресса — что иронично, так как в XX веке именно математика сыграла фундаментальную роль в развитии физики, информатики и экономики.
Тем не менее, математик может претендовать только на премию Абеля или премию Филдса (которую вручают ученым до 40 лет), а специалист по компьютерным наукам — на премию Тьюринга.
Что такое топология?
Топология — это еще выше, чем высшая геометрия: это пост-геометрия, наука, которая занимается изучением свойств предмета, не изменяющихся при его непрерывных деформациях. Что это значит на деле? Фигуры, с которыми работает топология, можно считать как бы сделанными из пластилина.
Представим себе пластилиновый бублик, пончик или «полноторие»: легко изменить его форму, не прибегая к разрывам и склейкам («непрерывно продеформировать»), и превратить его в кружку, а также в гирю, поэтому с точки зрения топологии гиря, кружка и бублик — это одно и то же топологическое пространство (точнее, это «топологически эквивалентные» пространства). Таким образом, такие характеристики как длина, ширина, высота фигуры для топологии значения не имеют. Топологически эквивалентными друг другу будут треугольник, квадрат и круг любого размера: с точки зрения топологии, все их свойства одинаковы, так как они плоские и у них нет отверстий.
В то же время, крендель (в нем две дырки) нельзя непрерывно продеформировать в бублик (в нем одна дырка), а бублик — в колобок, или «трехмерный» диск (в нем нет дырок). У этих фигур разное количество дырок, и нельзя превратить одну в другую просто «раскатав» (без разрывов и склеек). Для их поверхностей число дырок — топологический инвариант, играющий ключевую роль в их классификации; эти «двумерные» поверхности топологически не эквивалентны, то есть, с точки зрения топологии, это разные топологические пространства.
Другим фундаментальным топологическим инвариантом «многообразия» (то есть, поверхности произвольного числа измерений) является его размерность. Это число независимых координат, которыми можно задать положение любой точки на ней: так, поверхность Земли двумерна, поскольку положение любой точки на ней описывается двумя числами — широтой и долготой (это пример «замкнутого многообразия»: она ограничена в пространстве и не имеет края), а вот колобок уже трехмерен, поскольку положение любой точки в нем описывается тремя числами: расстоянием до центра шара, широтой и долготой на сфере с центром в центре шара, на которой она лежит (это пример «незамкнутого многообразия»: он ограничен в пространстве, но у него есть край, которым служит его поверхность — двумерная сфера).
Кстати, «задача тысячелетия», которую решил Григорий Перельман — тоже из области топологии. Согласно ей всякое односвязное замкнутое трехмерное многообразие топологически эквивалентно трехмерной сфере — иными словами, всякая ограниченная, не имеющая края и дырок «трехмерная» поверхность топологически эквивалентна поверхности «четырехмерного» колобка (он живет в четырехмерном пространстве: можно считать, что к трем измерениям, в которых живем мы, добавлено еще одно — время).
Зачем нужна топология
Замечательно то, что с топологической точки зрения можно работать не только с самыми разными многогранниками, вроде куба, но и с графами, разными сложными поверхностями, а также изучать развязываемость узлов и расцепляемость зацеплений, — все это открывает широкие горизонты и перспективы как для развития теории, так и для практических применений топологии.
Сегодня идеи и методы топологии используются в анализе данных, машинном обучении, робототехнике, с их помощью даже изучают мозг, — все эти современные области приложений топологии активно разрабатываются в нашей лаборатории на факультете компьютерных наук в Вышке.
За последнее время топология все больше проникает в физику, химию, биологию. С топологией связаны исследования ДНК. Она также позволяет исследовать и описывать пространственные отношения, которые могут также помочь в моделировании одежды. Например, можно будет создавать различные эффекты, благодаря которым одежда будет смотреться наиболее выигрышно (растяжение, сужение фигуры), а также оптимизировать процесс изготовления вещей, минимизируя затраты времени и ресурсов на кройку и шитье.
Существует множество самых разных наглядных задач, имеющих топологическую природу: например, наблюдение, восходящее к Эйлеру — «задача о трех домах и трех колодцах»: нельзя соединить каждый из трех домов с каждым из трех колодцев несамопересекающимися путями, так чтобы все пути попарно не пересекались. Тут дело происходит на плоскости: разумеется, в пространстве это легко сделать; чуть труднее, но тоже можно сделать это и на поверхности кружки (на «торе»).
Также есть теорема «о причесывании ежа»: невозможно так причесать свернувшегося клубком ежа, чтобы у него не торчала ни одна иголка. На языке топологии тот же самый результат формулируется так: «на двумерной сфере не существует ненулевого непрерывного касательного векторного поля».
Кто такой Деннис Салливан
Премию Абеля, как и Нобелевскую, вручают не за одно достижение, а за работу ученого в целом. Деннис Салливан стал лауреатом с формулировкой «за его новаторский вклад в топологию в ее самом широком смысле, и, в частности, ее алгебраический, геометрический и динамический аспекты».
Деннис Салливан (в советской и российской научной публицистике его фамилия пишется как Сулливан) — выдающийся специалист в области алгебраической и геометрической топологии, теории динамических систем. В настоящее время он является заведующим кафедрой имени Альберта Эйнштейна в Городском Университете Нью-Йорка, профессором Университета Стоуни-Брук, а также членом Национальной Академии Наук США. Он лауреат целого ряда престижных наград, среди которых премия Вольфа по математике (2010), а теперь уже и премия Абеля (2022).
Салливан получил степень доктора философии (PhD) в Принстонском Университете (1966) под руководством Уильяма Браудера. В своей диссертации Салливан изучал следующую классическую гипотезу топологии: если две многомерные гладкие поверхности («гладкие многообразия») топологически эквивалентны («гомеоморфны»), то есть все их топологические свойства одинаковы, то они и гладко эквивалентны («диффеоморфны»). Пользуясь аналогией с пластилиновыми фигурами, гладкие фигуры разрешается деформировать без создания разрывов и склеек, а также углов. В общем случае эта гипотеза неверна, как показал в 1956 году другой выдающийся тополог, лауреат премий Филдса (1962) и Абеля (2011) Джон Милнор. Однако Салливану удалось доказать, что при некотором техническом ограничении, накладываемом на топологию односвязных гладких многообразий, в размерностях пять и выше эта гипотеза выполнена.
Его исследования
Салливан является одним из создателей метода хирургий — основного метода современной дифференциальной топологии. Хирургия (или «перестройка») многообразия состоит в вырезании куска поверхности и приклеивании на его место по общему краю куска другого многообразия, так что свойства этой поверхности будут меняться по известным правилам. Например, если вырезать круг на поверхности бублика и приклеить по его границе (окружности) точно такую же поверхность (она называется в дифференциальной топологии «ручкой»), то мы получим поверхность кренделя, а если приклеить к сфере с дыркой лист Мебиуса, то мы получим проективную плоскость. Так что кружка получается из стакана путем приклеивания ручки и с точки зрения повседневной жизни, и с точки зрения топологии.
Вместе с Даниелем Квилленом они создали рациональную теорию гомотопий, в которой изучается класс «формальных» топологических пространств, устроенных достаточно просто с точки зрения вычисления их алгебро-топологических инвариантов: в них игнорируются все возможные кручения.
Вместе со своей женой, математиком Мойрой Чес, Салливан создал еще одно новое направление в топологии — струнную топологию (string topology), в которой изучаются алгебраические структуры на гомологиях пространств свободных петель. В настоящее время струнная топология применяется для решения фундаментальной проблемы построения топологических квантовых теорий поля в математической физике. Кстати, у Мойры Чес есть интересное хобби: чтобы материализовать абстрактные понятия, она вяжет сложные топологические фигуры крючком.
Салливан также интересуется турбулентным поведением жидкостей, например, потоков воды. По его словам, он мечтает обнаружить закономерности, которые могли бы сделать такое движение предсказуемым в больших масштабах.